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Python 中的曲线拟合:完全指南
原文：https://www.askpython.com/python/examples/curve-fitting-in-python
在本文中，我们将学习 python 中针对给定数据集的不同方法的曲线拟合。但是在开始之前，让我们先了解一下曲线拟合的目的是什么。
曲线拟合的目的是查看数据集并提取参数的优化值，以模拟给定函数的数据集。为此，我们将使用一个名为curve_fit(). 的函数
在开始我们的代码片段之前，让我们导入一些我们需要在开始之前导入的重要模块。
#importing modules
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
Python 中的曲线拟合是什么？
给定数据集 x = {x [1] ，x [2] ，x [3] …} 和 y= {y [1] ，y [2] ，y [3] …} 和一个函数 f，取决于一个未知参数 z 。我们需要为这个未知参数 z 找到一个最佳值，使得函数 y = f(x，z) 与函数和给定数据集最相似。这个过程称为曲线拟合。
为此，我们还需要应用两种不同的方法来进行曲线拟合。
- 最小二乘法
- 最大似然估计
最小二乘法
在这个方法中，我们将通过调整 z 中的值来最小化一个函数 ∑ [i] (f(x [i] ，z)–y[I])²。
我们可以在最高最小化之后找到优化值。
最大似然估计
当我们的数据集中有一些错误时，我们可以使用这种方法。那就是 σ。
我们需要最小化函数 ∑ [i] (f(x [i] ，z)-y[I])²/σ²。在上述函数的最高最小化之后，它给出了 z 的最佳值。
让我们看看下面的样本数据集。
x_data = np.array([ 0.23547456, 0.15789474, 0.31578947, 0.47368421, 0.63157895,
0.78947368, 0.94736842, 1.10526316, 1.26315789, 1.42105263,
1.57894737, 1.73684211, 1.89473684, 2.05263158, 2.21052632,
2.36842105, 2.52631579, 2.68421053, 2.84210526, 3.45454545 ])
y_data = np.array([ 2.95258285, 2.49719803, -2.1984975, -4.88744346, -7.41326345,
-8.44574157, -10.01878504, -13.83743553, -12.91548145, -15.41149046,
-14.93516299, -13.42514157, -14.12110495, -17.6412464 , -16.1275509 ,
-16.11533771, -15.66076021, -13.48938865, -11.33918701, -11.70467566])
plt.scatter(x_data , y_data)
plt.show()
上面的代码片段将给出示例数据集的输出，如下所示。
Plotting For Sample Datasets
曲线拟合示例 1
为了描述未知参数 z，我们在模型中取三个不同的变量 a，b 和 c。为了确定 z 的最佳值，我们需要分别确定 a、b 和 c 的值。即 z= (a，b，c) 。以及函数 y = f (x，z) = f (x，a，b，c) = a(x-b)² + c 。让我们一步一步来。
步骤 1:定义模型函数
def model_f(x,a,b,c):
return a*(x-b)**2+c
步骤 2:使用 curve_fit()函数
popt, pcov = curve_fit(model_f, x_data, y_data, p0=[3,2,-16])
在上面的函数中，我们为a, b and c提供初始值作为p0=[3,2,-16]。
上述函数将分别返回两个值 popt、pcov。
popt
array([ 4.34571181, 2.16288856, -16.22482919])
pcov
array([[ 0.19937578, -0.02405734, -0.1215353 ],
[-0.02405734, 0.00517302, 0.00226607],
[-0.1215353 , 0.00226607, 0.29163784]])
- popt:a、b、c 的估计优化值
- pcov:协方差矩阵或误差
现在，让我们为 a、b 和 c 绘制相同的函数。在这种情况下，我们将只解释我们的 popt 值**(最小二乘法)**，在下一个代码片段中，我们将解释我们的 pcov 值(即解释错误值)。
a_opt, b_opt, c_opt = popt
x_model = np.linspace(min(x_data), max(y_data), 100)
y_model = model_f(x_model, a_opt, b_opt, c_opt)
plt.scatter(x_data, y_data)
plt.plot(x_model, y_model, color='r')
plt.show()
上面的代码片段将给出如下所示的输出。
现在解释 pcov 值，我们可以更好地拟合给定函数(最大似然估计)。让我们快速看一下下面的代码片段。
plt.imshow(np.log(np.abs(pcov)))
plt.colorbar()
plt.show()
上面的代码片段将给出如下输出。
示例 2
让我们用另一个例子(不同的函数)来理解给定的数据集，并尝试两种不同的方法。在本例中，为了描述未知参数z，我们在模型中采用了四个不同的变量，分别命名为 a、b、c 和 d。为了确定 z 的最佳值，我们需要分别确定 a、b、c 和 d 的值。让我们快速看一下下面的代码片段。
步骤 1:定义模型函数
#Defining our function
def fit_f(x,a,b,c,d):
return a*(x-b)**2+c+d*0.0001*np.cos(x)
步骤 2:使用 curve_fit()函数
#using our curve_fit() function
popt, pcov = curve_fit(fit_f,x_data,y_data,p0=[1,2,-16,1])
在上面的函数中，我们为a, b, c and d提供初始值作为p0=[1,2,-16,1]。
我们可以通过打印相同的内容来查看 popt 和 pcov 的值。
popt
array([ 5.00494014e+00, 2.75689923e+00, -2.21559741e+01, -8.97724662e+04])
pcov
array([[ 1.71072218e-01, 4.21450805e-03, -4.30580853e-01,
-5.74603933e+03],
[ 4.21450805e-03, 3.33701247e-02, -3.97891468e-01,
-4.49561407e+03],
[-4.30580853e-01, -3.97891468e-01, 5.68973874e+00,
6.50631130e+04],
[-5.74603933e+03, -4.49561407e+03, 6.50631130e+04,
7.82484767e+08]])
现在，让我们为 a、b 和 c 的优化值绘制相同的函数。在这种情况下，我们将只解释我们的 popt 值(最小二乘法)，在下一个代码片段中，我们将解释我们的 pcov 值(即解释错误值)。
a_opt, b_opt, c_opt, d_opt = popt
x_model = np.linspace(min(x_data), max(y_data), 100)
y_model = fit_f(x_model, a_opt, b_opt, c_opt,d_opt)
plt.scatter(x_data, y_data)
plt.plot(x_model, y_model, color='r')
plt.show()
上面的代码片段将给出如下输出。
现在解释 pcov(协方差误差矩阵)值，我们可以更好地拟合给定函数(最大似然估计)。让我们快速看一下下面的代码片段。
plt.imshow(np.log(np.abs(pcov)))
plt.colorbar()
plt.show()
摘要
今天，我们学习了 Python 曲线拟合。我们已经看到了如何使用curve_fit() 方法为给定的数据集优化给定的函数。除了我们的例子之外，您还可以使用任何其他数据集来做同样的事情，并尝试上面的代码片段。
您可以尝试获取不同数据集的 CSV 文件，并提取相同数据集的优化值。
我希望你会发现这一个更有帮助。我们必须带着一些更令人兴奋的话题再次访问。